Hallo Welt vom Pi Zero 2 W
Dies ist ein Testeintrag für Pelican.
$$ E = mc^2 $$
1) Grundlegendes & Komplexe Zahlen
Inline: $e^{j\omega t} = \cos(\omega t) + j\sin(\omega t)$, $\,j^2=-1$.
Polar $\leftrightarrow$ kartesisch:
$$
\begin{aligned}
z &= x + jy = r e^{j\varphi},\quad r=\sqrt{x^2+y^2},\ \varphi=\operatorname{atan2}(y,x),\
\Re{z}&=x,\ \Im{z}=y,\quad |z|=r,\ \arg z=\varphi.
\end{aligned}
$$
De Moivre: $$(\cos\varphi + j\sin\varphi)^n=\cos(n\varphi)+j\sin(n\varphi).$$
2) Ableitungen & Integrale
Produkt/Quotient/Chain: $$ \frac{d}{dx}[uv]=u'v+uv',\quad \frac{d}{dx}!\left[\frac{u}{v}\right]=\frac{u'v-uv'}{v^2},\quad \frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x). $$
Standard: $$ \frac{d}{dx}\,e^{ax}=a e^{ax},\quad \frac{d}{dx}\,\sin ax= a\cos ax,\quad \frac{d}{dx}\,\cos ax= -a\sin ax,\quad \frac{d}{dx}\,\ln x=\frac{1}{x}. $$
Integration by parts: $$ \int u\,dv = uv - \int v\,du. $$
Taylor um $0$ (Ausschnitt): $$ e^x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!},\quad \sin x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!},\quad \cos x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}. $$
3) Lineare Algebra (Kurztest)
Vektoren/Dot/Cross: $$ \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\sum_i a_i b_i,\qquad \mathbf{a}\times\mathbf{b}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\ a_1 & a_2 & a_3\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}. $$
Matrixformen: $$ A=\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix},\quad \det A = ad-bc,\quad A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\-c&a\end{bmatrix}. $$
Eigenwert-Def.: $$A\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}.$$ Projektor auf $\mathbf{u}$ (Einheitsvektor): $$P=\mathbf{u}\mathbf{u}^\top.$$
4) DGLs & typische Systemantworten
Erste Ordnung (RC): $$ \tau \frac{dy}{dt}+y = K\,u(t),\qquad \tau=RC. $$ Sprung $u(t)=U_0\,\mathbf{1}(t)$: $$ y(t)=K U_0\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr)\mathbf{1}(t). $$
Zweite Ordnung (RLC, normiert): $$ \ddot y + 2\zeta \omega_n \dot y + \omega_n^2 y = \omega_n^2\,U(t),\quad \omega_n=\frac{1}{\sqrt{LC}},\ \ \zeta=\frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}}. $$
Gedämpfter Oszillator (homogen, $\zeta<1$): $$ y_h(t)=e^{-\zeta\omega_n t}\Big(C_1\cos\omega_d t + C_2\sin\omega_d t\Big),\quad \omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}. $$
5) Laplace, Faltung, Übertragungsfunktion
Laplace-Paar: $$ \mathcal{L}{f(t)}=F(s)=\int_{0}^{\infty} f(t)\,e^{-st}\,dt,\qquad \mathcal{L}^{-1}{F(s)}=f(t). $$
Nützlich: $$ \mathcal{L}{1}=\frac{1}{s},\quad \mathcal{L}{e^{at}}=\frac{1}{s-a},\quad \mathcal{L}{\sin \omega t}=\frac{\omega}{s^2+\omega^2},\quad \mathcal{L}{\cos \omega t}=\frac{s}{s^2+\omega^2}. $$
Faltung: $$ (y=f*g)(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau\quad \Longleftrightarrow\quad Y(s)=F(s)G(s). $$
Übertragungsfunktion (Beispiel 1. Ordnung): $$ H(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{K}{\tau s+1}. $$
6) Fourier & Spektren
Kontinuierliche FT: $$ \mathcal{F}{x(t)}=X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,e^{-j\omega t}\,dt, \qquad x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} X(\omega)\,e^{j\omega t}\,d\omega. $$
Parseval: $$ \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|X(\omega)|^2 d\omega. $$
7) Wechselstrom, Impedanzen & Leistung
Phasor-Ohm: $$ \underline{U}=\underline{Z}\,\underline{I},\qquad Z_R=R,\quad Z_L=j\omega L,\quad Z_C=\frac{1}{j\omega C}. $$
Resonanz (Serie): $$\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}},\quad Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}},\quad B=\frac{\omega_0}{Q}.$$
Leistung: $$ S=UI^* = P + jQ,\qquad P=UI\cos\varphi,\quad Q=UI\sin\varphi,\quad \text{pf}=\cos\varphi. $$
8) Regelungstechnik (Basics)
Unity-Feedback: $$ T(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}\quad (\text{bei }H=1:\ T=\tfrac{G}{1+G}). $$
PID (Zeit- und Laplaceform): $$ u(t)=K_p e(t)+K_i!\int_0^t!e(\tau)\,d\tau+K_d\dot e(t),\qquad G_{PID}(s)=K_p+ \frac{K_i}{s}+K_d s. $$
Bode-Magnitude (1. Ordnung, $\omega_c=1/\tau$): $$ |H(j\omega)|=\frac{K}{\sqrt{1+(\omega \tau)^2}},\qquad \angle H(j\omega)=-\arctan(\omega \tau). $$
9) Vektoranalysis & Feldgleichungen
Operatoren: $$ \nabla f=\operatorname{grad} f,\quad \nabla\cdot \mathbf{F}=\operatorname{div}\mathbf{F},\quad \nabla\times \mathbf{F}=\operatorname{curl}\,\mathbf{F}. $$
Maxwell (differentiell, SI): $$ \begin{aligned} \nabla\cdot \mathbf{D}&=\rho_f, & \quad \nabla\times \mathbf{E}&=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t},\ \nabla\cdot \mathbf{B}&=0, & \quad \nabla\times \mathbf{H}&=\mathbf{J}_f+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}. \end{aligned} $$
Welle (skalare Form): $$ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2 \nabla^2 u. $$
10) Mechanik (Kurzformeln)
Kinematik: $$ s(t)=s_0+v_0 t+\tfrac{1}{2} a t^2,\quad v(t)=v_0 + a t. $$
Kraft & Energie: $$ \mathbf{F}=m\mathbf{a},\qquad W=\int \mathbf{F}\cdot d\mathbf{s},\qquad E_{\text{kin}}=\tfrac{1}{2}mv^2. $$
Federpendel (linearisiert): $$ m\ddot x + c \dot x + k x = 0,\qquad \omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}},\ \ \zeta=\frac{c}{2\sqrt{mk}}. $$
11) Wahrscheinlichkeit & Statistik
Erwartungswert/Varianz (kontinuierlich): $$ \mathbb{E}[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x)\,dx,\qquad \operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}[X^2]-\mathbb{E}[X]^2. $$
Normalverteilung: $$ f_X(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,\exp!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right). $$
Bayes: $$ p(\theta\mid x)=\frac{p(x\mid \theta)\,p(\theta)}{p(x)}. $$
1) 2×2 (pmatrix, Display)
$$ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $$
2) 3×3 (bmatrix, Display)
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} $$
3) Inline (smallmatrix) — kurz halten
Inline: $\left(\begin{smallmatrix}a & b \\ c & d\end{smallmatrix}\right)$, $A^\top$, $A^{\mathrm{H}}$.
4) Augmentiertes LGS (array + vertikale Trennlinie)
$$ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 4 & 8 \\ 2 & -3 & 1 & -1 \end{array} \right] $$
5) Rotation 2D & 3D (pmatrix)
$$ R(\theta)= \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} $$
$$ R_z(\phi)= \begin{pmatrix} \cos\phi & -\sin\phi & 0 \\\sin\phi & \cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$
6) SVD / Projektor (nur Formeln, keine großen Matrizen)
$$ A=U\Sigma V^\top,\qquad \Sigma=\operatorname{diag}(\sigma_1,\dots,\sigma_r),\qquad P=\mathbf{u}\mathbf{u}^\top. $$
7) und eine tabelle zum Schluss:
| U | U2 | U1 | U0 | D | U⁺ | U2⁺ | U1⁺ | U0⁺ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 2 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 2 | 0 | 1 | 0 |
| 2 | 0 | 1 | 0 | 1 | 6 | 1 | 1 | 0 |
| 3 | 0 | 1 | 1 | 1 | 2 | 0 | 1 | 0 |
| 4 | 1 | 0 | 0 | 1 | 5 | 1 | 0 | 1 |
| 5 | 1 | 0 | 1 | 1 | 6 | 1 | 1 | 0 |
| 6 | 1 | 1 | 0 | 1 | 6 | 1 | 1 | 0 |
| 7 | 1 | 1 | 1 | 1 | 5 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 3 | 0 | 1 | 1 |
| 2 | 0 | 1 | 0 | 0 | 4 | 1 | 0 | 0 |
| 3 | 0 | 1 | 1 | 0 | 3 | 0 | 1 | 1 |
| 4 | 1 | 0 | 0 | 0 | 3 | 0 | 1 | 1 |
| 5 | 1 | 0 | 1 | 0 | 5 | 1 | 0 | 1 |
| 6 | 1 | 1 | 0 | 0 | 5 | 1 | 0 | 1 |
| 7 | 1 | 1 | 1 | 0 | 5 | 1 | 0 | 1 |
Rechnungen
$$ \frac{d}{dx}\left( \frac{\sin(x)}{f(x)} \right) = \frac{f(x)\cos(x) - f'(x)\sin(x)}{(f(x))^2}
\lim_{x \to \ldots} \frac{\sin(x) \cdot \sin(x)}{(f(x))^2} = \frac{\cos(x)\cdot(f(x)) - (f'(x))\sin(x)}{(f(x))^2}
\left[(\sin(x))^2 + (\cos(x))^2 \right] \cdot \frac{1}{(f(x))^2} + \frac{1}{(f(x))^2} = \frac{1}{f(x)^2}
-\csc(x)^2
\frac{d}{dx} \left[ \sqrt{1-x^2} \right] = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \frac{d}{dx}\left( \arcsin(x) \right) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} e^{(\sin(x))^2} \quad \Rightarrow \quad \frac{d}{dx} e^{(\sin(x))^2} = e^{(\sin(x))^2} \cdot 2\sin(x)\cos(x)
\int y^n \, dy = \frac{1}{n+1} y^{n+1} \quad (n \neq -1)
\int x^a \, dx = \frac{1}{a+1} x^{a+1}
\int \sin(x)\, dx = -\cos(x) + C
\int x\cos(x)\,dx = x\sin(x) + \cos(x)
Substitution:
(u = x,\; dv = e^{-x}dx \quad \Rightarrow \quad du=dx,\; v=-e^{-x})
= -x e^{-x} + \int e^{-x}\, dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C $$
Randnotizen:
- Identität: (\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1)
- Substitution muss nach dem Differenzieren zurückgesetzt werden.